Théorème sous-additif de Kingman
Théorème
Théorème sous-additif de Kingman :
Soit \((X_{m,n})_{0\leqslant m\lt n}\) une famille de variables aléatoires sur un espace probabilisé qui satisfait :- \(X_{0,n}\leqslant X_{0,m}+X_{m,n}\) pour touts \(m\lt n\)
- Pour tout \(k\geqslant1\), la séquence \((X_{nk,(n+1)k})^\infty_{n=1}\) est une séquence stationnaire
- Pour tout \(m\geqslant1\), les deux séquences \((X_{0,k})^\infty_{k=1}\) et \((X_{m,m+k})^\infty_{k=1}\) ont les mêmes distributions conjointes
- \(\Bbb E\lvert X_{0,1}\rvert\lt \infty\), et il existe une constante \(M\gt 0\) telle que poru tout \(n\geqslant1\), \(\Bbb E(X_{0,n})\geqslant-Mn\)
Alors :- La limite \(\gamma=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{\Bbb E(X_{0,n})}n\) existe et est égale à \(\inf_{n\geqslant1}\frac{\Bbb E(X_{0,n})}n\)
- La limite \(X=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{X_{0,n} }{n}\) existe presque sûrement et satisfait \(E(X)=\gamma\)
- Si la séquence stationnaire \((X_{nk,(n+1)k})^\infty_{n=1}\) est ergodique pour tout \(k\geqslant1\), alors \(X=\gamma\) presque sûrement
(dérivé du
Lemme sous-additif de Fekete)
Exercice
Vérifier que \((Y_{m,n})\) satisfait les hypothèses du théorème
